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数学

神奇而有趣的素数

  • 素数（质数）就是除了 1 和自身，不能再被其他整数整除的数字。

  • 第一个问题：下一个素数的规律是什么？

  • 2 的倍数即是所有偶数。

  • 3 的倍数，其数字相加能被 3 整除。

  • 5 的倍数，结尾不是 5 就是 0，即见到这两个数字结尾的整数就能被 5 整除。

  • 7 的倍数是第一个比较没规律的素数集合，而 7 = 2 * 3 + 1，即前两个素数相乘后再加 1 即可。

  • 11 = 2 * 5 + 1，13 = 2 * 2 * 3 + 1，欧几里得在公元前 300 年证明了素数有无限个。如果是有限个，那假设它们的乘积为 P ，而 Q = P + 1，那么 Q 应该是一个合数，即可被其中某个素数 p 整除，而 p 又可以整除 P，那么 Q - P 也应该能被 p 整除，但是 Q - P = 1，1 显然不能被 p 整除，只能被 1 整除，所以不存在这样有限个素数的情况。

调和级数

$$H_r = \sum_{r=1}^\infin \frac{1}{r} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + …$$

  • 谐波：高于基音基本频率的泛音，该和式被奥雷斯姆证明是不收敛的（即不存在极限，不接近/趋向于任何特定的数字，而是一直增长到无穷大）。

Zeta 函数

$$\zeta(n)=\sum_{r=1}^\infin \frac{1}{r^n}=1 + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + …$$

若将 n = 1 代入，就会得到调和级数，它是发散的。然而对于 n > 1 的所有值, 该级数是收敛的，这意味着当 r 递增时，其和趋向于某些数，即它不会增长到无穷大。

欧拉乘积公式

zeta 函数和素数间的第一个联系是由欧拉发现的，当时他发现了 n 和 p 两个自然数（大于零的整数）之间的关系，其中 p 为素数：

$$\zeta(n)=\sum_{r=1}^\infin\frac1{r^n}=\prod_p\frac1{1-p^{-s}}=(1-\frac1{1-\frac1{2^s}})\times(1-\frac1{1-\frac1{3^s}})\times(1-\frac1{1-\frac1{5^s}})\times(1-\frac1{1-\frac1{7^s}})\times(1-\frac1{1-\frac1{11^s}})\times…$$

欧拉乘积公式，其中 n，p 均为大于零的数字且 p 为素数

简易思考，[[#算法|tag.算法]]题

  • 100 以内有多少个素数？
  • 100 以后第一个素数是多少？

数学公式

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